братная задача георадарного сканирования

Решена обратная трехмерная задача восстановления подповерхностной структуры грунта. До сих пор эта задача считалась практически неподъёмной из-за потребности в больших вычислительных ресурсах. В то же время именно решение такой задачи в полной постановке, т.е. на основе дискретизации уравнений Максвелла и нахождения устойчивого решения, позволяет автоматизировать процесс интерпретации данных георадарного зондирования.

На сегодняшний день георадарные технологии довольно популярны.
Задача восстановить по данным георадара подповерхностную структуру грунта, тем не менее, остается весьма не однозначной и налагает большую ответственность на интерпретатора. Т.е. интерпретатор при анализе данных по георадарограммам должен накопить большой опыт в этой области, чтобы адекватно подобрать упрощающую модель и в рамках этой модели проинтерпретировать данные.

Основными упрощающими моделями являются:

Приближение геометрической оптики, для которой можно воспользоваться накопленными алгоритмами, применяемыми для сейсморазведки, методы деконволюции, преобразования Гилберта и т. д.[1,2]. Если данные представимы в рамках этой модели, интерпретация дает хорошие результаты при зондирующем импульсе треугольной формы непосредственно по радарограммам.

Высокочастотное и низкочастотное приближения, для которых можно использовать асимптотические приближения для диэлектрической проницаемости и проводимости или упростить уравнения, пренебрегая соответствующими членами. В этом случае решение весьма упрощаются.[3,4]

Одномерные, двумерные приближения, для которых в некоторых случаях можно выписать аналитические решения и тем самым найти характерные качественные, а иногда и количественные особенности решения.[3,4,5]

Однако, как сказано выше все это предполагает высокий профессионализм интерпретатора, поскольку изучаемая нами среда, образ которой представлен данными георадиолокации, разнообразна и меняется на каждом шаге съемки. Причем, как правило, все приближения могут либо чередоваться от точки к точке измерений, либо вообще не работать. Соответственно неправильный выбор модели задачи приводит к неправильному решению.

Повышение достоверности диагностики и идентификации подповерхностных областей и объектов по результатам георадарного сканирования и желание снизить нагрузку на интерпретатора георадиолокационных данных, в идеале получать решение задачи автоматически приводит к необходимости решения обратных задач рассеяния в максимально полной трехмерной постановке.

Как известно обратная задача георадиолокации может быть задана в полной постановке на основе уравнений Максвелла. До сих пор решение такой задачи не сделано, хотя подходов к решению существует довольно много[5].

Основной причиной этого является требование больших вычислительных мощностей и времени вычислений, требование подбора регуляризаторов для получения сходящегося решения, т.к. в общем случае задача не корректна.

Наш подход к решению этой задачи в следующем[6]:

Для решения такой задачи на основе численного моделирования уравнений Максвелла мы предлагаем два вида сеток:

• Тензорные сетки. Этот тип сетки позволяет представлять матрицу в задаче наименьших квадратов в виде многоуровневой-блочно-Теплицевой. Это уменьшает арифметические затраты и требования к объему памяти, В то же время для более точного представления искомого объекта, необходимо сильно измельчать сетку и вводить специальные регуляризаторы, что может ухудшить "качество решения.
• Адаптивные многогранники Вороного-Делоне. На основе такой сетки мы получаем более устойчивое представление изучаемого объекта. В то же время, неструктурированная сетка требует специальных многоуровневых и иерархических матричных методов, отличных от метода быстрого преобразования Фурье.

Разработанные и успешно применяемые нашими партнерами из фирмы "Elegant Mathematics"LTD уже более 15 лет итерационные методы для решения систем уравнений позволили нам найти наиболее подходящий и устойчивый метод решения линейных систем и, при необходимости, регуляризовать вырожденную матрицу.

Эти алгоритмы использовались суперкомпьютерным центром Мауи (Гаваи, США) по поручению компании Мобил для решения такого типа плохо обусловленных разреженных систем уравнений с регуляризацией с использованием массивно-параллельных компьютеров.

Объем используемой памяти компьютера и время счета пропорциональны объему моделируемого объекта и пространственному разрешению сетки. Применение совершенных вычислительных алгоритмов, разработанных в последнее время, дало возможность решать подобные задачи для значительных объемов неизвестных параметров, описывающих восстанавливаемую пространственную структуру с требуемым разрешением сеток[7].

Алгоритм решения мы сделали достаточно гибким, чтобы была возможность учесть априорную информацию. Так любая априорная информация может быть использована в качестве регуляризатора.

Сама программа реализующая наш алгоритм имеет возможность получать информацию о временном интервале для получения результата, анализировать промежуточные решения с помощью программ визуализации, прерывать итерации решения, если для данного объема данных решение с заданной точностью будет считаться долго и т. д.

Рисунок 1

На рисунке 1 показан пример решения трехмерной обратной задачи поиска расположения неоднородного включения при археологических задачах. Необходимо сказать, что решение в данном случае системы из 10000 неизвестных было получено за несколько секунд машинного времени на обычном персональном компьютере непосредственно на месте проведения съемки. Этот пример был выбран для наглядности, т. к. после проведенного георадарного сканирования на этом участке были проведены раскопки и с точностью до 10см. данные решения обратной задачи были подтверждены. Усложнение задачи с увеличением объема изучаемого объекта и, следовательно, увеличение числа неизвестных в обратной задаче, к примеру, до 1000000 приводит к увеличению времени счета до 1 часа. Таким образом, задача восстановления трехмерной структуры исследуемых площадок становится доступной для решения непосредственно в полевых условиях.

Рисунок 2

На рисунке 2 представлен 3D-вид в программе Grot12.

Для просмотра анимации щелкните мышкой на изображении.

Литература:
1. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М. Наука, 1973, 344с.
2. Владов М.Л., Старовойтов А.В. Георадиолокационные исследования верхней части разреза М. МГУ, 1999, 92с.
3. E. A. Rudenchik, L. B. Volkomirskaya and A. E. Reznikov Investigation of the Propagation of Signals in One-Dimensional Electrodynamics for interpretation Electromagnetic Sounding Data. Consideration of the Analytic Properties of Permittivity, Physics of Wave Phenomena, 2008, Vol. 16, No. 1, pp. 1-18. © Allerton Press, Inc., 2008.
4. E. A. Rudenchik, L. B. Volkomirskaya and A. E. Reznikov Investigation of the Propagation of Signals in One-Dimensional Electrodynamics for interpretation Electromagnetic Sounding Data Consideration of Conductivity in the Function of Permittivity, Physics of Wave Phenomena, 2008, Vol. 16, No. 2, pp. 1-14. © Allerton Press, Inc., 2008.
5. Вопросы подповерхностной радиолокации, под ред. Д.т.н. А.Ю. Гринева, Радиотехника, Москва, 2005г., 416с.
6. L. Volkomirskaja*, A. Reznikov*, I. Ibragimow** and E. Ibragimowa GROT-12-3D Radars and Real Time Solution of 3D Ground-Penetrating Inverse Problem, в печати в NLAA.
7. Jaravine V., Ibraghimov I., Orekhov V.: Removal of a Time Barrier for High-Resolution Multidimensional NMR Spectroscopy. Nature Methods. Vol. 3, No. 8, 605-607, (2006).